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La lógica importa
Este artículo necesita citas adicionales para su verificación. Por favor, ayude a mejorar este artículo añadiendo citas de fuentes fiables. El material sin fuente puede ser cuestionado y eliminado.Buscar fuentes: «Problemas del Premio del Milenio» – noticias – periódicos – libros – erudito – JSTOR (enero de 2013) (Aprende cómo y cuándo eliminar este mensaje de la plantilla)
Los Problemas del Premio del Milenio son siete conocidos problemas matemáticos seleccionados por el Instituto Clay de Matemáticas en el año 2000. El Instituto Clay ha prometido un premio de un millón de dólares para la solución correcta de cualquiera de los problemas.
Hasta la fecha, el único problema del Premio del Milenio que se ha resuelto es la conjetura de Poincaré. El Instituto Clay concedió su premio monetario al matemático ruso Grigori Perelman en 2010. Sin embargo, declinó el premio por no ofrecerse también a Richard S. Hamilton, en cuyo trabajo se basó Perelman.
Los seis problemas restantes sin resolver son la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, la conjetura de Hodge, la existencia y suavidad de Navier-Stokes, el problema P versus NP, la hipótesis de Riemann y la existencia y brecha de masa de Yang-Mills.
Cómo estudiar la lógica formal
En el pasado, la lógica de primer orden y su completitud y si la aritmética es completa era una de las principales cuestiones sin resolver en la lógica . Todos estos problemas fueron resueltos por Godel. Más tarde, se estableció la independencia de los principales axiomas controvertidos mediante el método de forzamiento.
No soy un experto en lógica (ni en ningún otro campo matemático, soy estudiante) pero me interesa la lógica, así que me gustaría saber cuáles son los problemas actuales a los que se enfrentan los lógicos y cuáles son las tendencias de la investigación en la disciplina hoy en día y qué tipo de problemas se están intentando resolver.
Sé que la lógica es un término muy amplio que incluye muchas subdisciplinas: teoría de modelos, teoría de la prueba, teoría de conjuntos, teoría de la recursión, lógica de orden superior, lógica no clásica, lógica modal, lógica algebraica y muchas otras. Así que siéntase libre de contarnos problemas de cualquier tema que le guste.
NOTA: La CV puede reformularse como una dicotomía «contable/perfecta», en cuyo caso no es trivialmente cierta si la CH se mantiene y es, de hecho, invariante de forzamiento; véase, por ejemplo, ¿Cómo sabemos si la Conjetura de Vaught es absoluta?
Cómo aprender lógica matemática
Este artículo es una recopilación de problemas notables no resueltos que proviene de muchas fuentes, incluyendo pero no limitándose a listas consideradas autorizadas. La lista no es exhaustiva, al menos por la razón de que las entradas pueden no estar actualizadas en el momento de su visualización. Esta lista incluye problemas que la comunidad matemática considera muy variados tanto en dificultad como en importancia para la ciencia en su conjunto.
Varios matemáticos y organizaciones han publicado y promovido listas de problemas matemáticos sin resolver. En algunos casos, las listas se han asociado a premios para los descubridores de las soluciones.
El séptimo problema, la conjetura de Poincaré, ha sido resuelto;[12] sin embargo, una generalización llamada conjetura de Poincaré en cuatro dimensiones, es decir, si una esfera topológica de cuatro dimensiones puede tener dos o más estructuras lisas no equivalentes, sigue sin resolverse[13].
En tres dimensiones, el número de beso es 12, porque 12 esferas unitarias no superpuestas pueden ponerse en contacto con una esfera unitaria central. (En este caso, los centros de las esferas exteriores forman los vértices de un icosaedro regular). Los números de beso sólo se conocen exactamente en las dimensiones 1, 2, 3, 4, 8 y 24.
Introducción a la lógica matemática pdf
La lógica matemática es el estudio de la lógica formal dentro de las matemáticas. Las principales subáreas incluyen la teoría de modelos, la teoría de la prueba, la teoría de conjuntos y la teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática suele abordar las propiedades matemáticas de los sistemas formales de lógica, como su poder expresivo o deductivo. Sin embargo, también puede incluir usos de la lógica para caracterizar el razonamiento matemático correcto o para establecer los fundamentos de las matemáticas.
El campo matemático de la teoría de las categorías utiliza muchos métodos axiomáticos formales e incluye el estudio de la lógica categórica, pero la teoría de las categorías no se considera habitualmente un subcampo de la lógica matemática. Debido a su aplicabilidad en diversos campos de las matemáticas, los matemáticos, entre los que se encuentra Saunders Mac Lane, han propuesto la teoría de categorías como un sistema fundacional para las matemáticas, independiente de la teoría de conjuntos. Estos fundamentos utilizan topos, que se asemejan a modelos generalizados de la teoría de conjuntos que pueden emplear la lógica clásica o no clásica.
La lógica matemática surgió a mediados del siglo XIX como un subcampo de las matemáticas, reflejando la confluencia de dos tradiciones: la lógica filosófica formal y las matemáticas. [La lógica matemática, también llamada «logística», «lógica simbólica», «álgebra de la lógica» y, más recientemente, simplemente «lógica formal», es el conjunto de teorías lógicas elaboradas en el transcurso del último siglo [XIX] con la ayuda de una notación artificial y un método rigurosamente deductivo»[4] Antes de esta aparición, la lógica se estudiaba con la retórica, con los cálculos[5], a través del silogismo, y con la filosofía. En la primera mitad del siglo XX se produjo una explosión de resultados fundamentales, acompañada de un vigoroso debate sobre los fundamentos de las matemáticas.